\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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\title{线性微分方程、解空间、傅里叶变换}
\author{待定}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\abstract{研究线性微分方程，对方程的求解与傅里叶变换是否可以交换次序。}

\section{问题}

设 $\mathcal{A}$ 是一元线性微分方程全体组成的集合，其中的元素可以写为
\[
P(x,\partial_x) = a_n(x)\partial_x^n+a_{n-1}(x)\partial_x^{n-1} + \cdots + a_0.
\]

设 $\mathcal{B}$ 是特定函数全体组成的集合，例如解析函数、$C^\infty$函数、广义函数、形式幂级数等。

考虑两种操作，对微分方程求解(Sol)，对微分方程进行傅里叶变换($\mathcal{F}$)，对函数进行傅里叶变换($\mathcal{F}$)，得到如下图表，

\[
\begin{tikzcd}
\mathcal{A} \arrow[r, "\mathrm{Sol}"] \arrow[d, "\mathcal{F}"']  & \mathcal{B} \arrow[d, "\mathcal{F}"] \\
\mathcal{A} \arrow[r, "\mathrm{Sol}"']  & \mathcal{B}
\end{tikzcd}
\]

问题是什么时候这个是交换图。


\section{例子}

考虑微分方程 $y''+y=0$. 通解为 
\[
\varphi(x)=c_1\cos(x)+c_2\sin(x). 
\]
正弦函数、余弦函数的傅里叶变换分别为
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\mathcal{F}[\sin(x)](\xi) &= i\pi (\delta(\xi+1) - \delta(\xi-1)). \\
\mathcal{F}[\cos(x)](\xi) &= \pi (\delta(\xi+1) + \delta(\xi-1)).
\end{aligned}
\end{equation*}
其中$\delta(x)$ 为Dirac函数。所以通解的傅里叶变换为
\[
\mathcal{F}[\varphi(x)](\xi) = (c_1+ic_2)\pi\delta(\xi+1) + (c_1-ic_2)\pi\delta(\xi-1).
\]

另一方面，对微分方程 $y''+y=0$ 先做傅里叶变换，得到方程
\[
(\xi^2+1)\hat{u}(\xi)=0.
\]
在广义函数范围内求解，可得通解为 
\[
C_1\delta(\xi+i)+C_2\delta(\xi-i). 
\]

先求解再傅里叶变换，得到支撑在实轴上的Dirac函数，支撑点为$\pm 1$, 这是频率。
先傅里叶变换再求解，得到支撑在虚轴上的Dirac函数，支撑点为$\pm i$, 这是特征值。
所以在这个例子中，求解与傅里叶变换不是交换的。


\section{分析}

要使交换图成立，可能需要：
使用 形式幂级数 或 超函数 范畴，
或考虑 Fourier-Laplace 变换 而非 Fourier 变换，
或限制在 常系数、缓增、且以指数增长为基础 的解空间。
在这些更精细的范畴中，可以通过适当解释“解”和“变换”，建立拟交换性。


\section{解答}



\vfill

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{ahlfors} Ahlfors, Lars V. Complex Analysis. 

\bibitem{coutinho} Coutinho, S. C. A Primer of Algebraic D-Modules. London Mathematical Society Student Texts. 1995.

\bibitem{borel} Borel, A. et al. Algebraic D-Modules. Perspectives in Mathematics. 1987.

\bibitem{ks1990} Kashiwara, M., Schapira, P. Sheaves on Manifolds. Springer. 1990.

\bibitem{ks2016} Kashiwara, M., Schapira, P. Regular and Irregular Holonomic D-modules. Cambridge University Press. 2016. 

\bibitem{deligne} Deligne, P. Équations différentielles à points singuliers réguliers. Springer LNM 163. 1970.

\bibitem{wasow} Wasow, W. Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations. 1965. 

\bibitem{hille} Hille, E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. 1976. 

%\bibitem{dtr} 丁同仁, 李承治. (2022). \emph{常微分方程教程}. 高等教育出版社. 

\end{thebibliography}

\end{document}

